Schönen guten Tag, meine Damen und Herren. Wir haben beim letzten Mal uns mit der Spannungstransformation

beschäftigt, also dem russischen Spannungskreis, diesem Drehen des Koordinatensystems, um die

Richtung und natürlich auch vor allen Dingen den Betrag der größten Normal- und aber auch der

größten Schubspannung zu ermitteln. Ziel war es halt sozusagen die größte auftretende Normal-

oder Schubspannung zu finden, die in so einem Bauteil an einem Punkt auftritt, als möglichen

Kandidaten für eine Festigkeitshypothese und als Vergleichsspannung zu verwenden, also um festzustellen,

an welchem Punkt versagt das Bauteil zum Beispiel. Da wo halt die größte Normal- oder Schubspannung

auftritt, da könnte es versagen. Wir wollen uns heute noch ein zweites, ein weiteres Kriterium

anschauen und zwar ist das jetzt nicht rein spannungsbasiert, man rechnet nachher auch eine

Vergleichsspannung aus, aber das ist energiebasiert und man schaut sich die sogenannte Gestaltänderungsenergie

an und das ist der Abschnitt 2.6.4. Die spezifische Volumen und die spezifische Gestaltänderungsenergie.

Wir haben bereits diese Formänderungsenergie kennengelernt aus dem Castellano-Verfahren.

Das war der Abschnitt 2.5.1. Da haben wir schon mal die Verzerrungsenergie kennengelernt.

Dieses Pi-Stern war ein Halb für den elastischen Körper, Summe über i, Summe über j von sigma

ij mal epsilon j. Also Spannung mal Dehnung und dann den Faktor ein Halb. Hier die Arbeit,

die geleistet wird, wenn das lineaelastisch ist, habe ich hier irgendeine Dehnungskomponente,

die zügigen Spannungskomponente, das Stoffgesetz dazwischen, ein lineaelastisches Gesetz und dann

ist das Pi-Stern hier diese spezifische Arbeit, ist die Fläche unter dieser Kurve. Und auch dieses

kann man sich jetzt anschauen, wobei wir diese Form oder elastische Energie, die gespeichert wird,

aufteilen wollen in einen Anteil, der assoziiert ist mit einer reinen Volumenänderung des Körpers.

Also einfach, dass Verformung ändert nur das Volumen ohne die Gestalt, ohne Winkeländerungen

zu haben und einen Anteil, der halt die Gestaltänderung bewirkt, bei konstantem Volumen.

Das kann man aufspalten in der Form, aufspalten in einen Volumenanteil Energie Pi-Stern V

und diese Gestaltänderung bei konstantem Volumen Pi-Stern G mit Pi-Stern ist Pi-Stern V plus Pi-Stern G.

Um diese Aufspaltung der Energie herzubekommen, spalten wir die Spannung und die Dehnung entsprechend auf

und zwar in einen sogenannten Kugeltensor und einen Deviatoranteil. Was das ist, werde ich gleich sagen.

Also aufspalten und das Zerrungstensor, also diese Sigma ij und das Epsilon ij, jeweils diese 3 Kreuz 3 Matrix,

die symmetrisches, die kann man aufspalten in einer ganz speziellen Art und Weise.

Das ist erstmal eine rein mathematische Operation und zwar in einen hydrostatischen Anteil.

Das wird auch der sogenannte Kugelanteil oder Kugeltensor genannt und das Sigma ij-Kringel da,

das soll halt dieser Kugelanteil sein, der ist folgendermaßen definiert.

Ich nehme ein Drittel der Spur, also der Diagonalelemente Sigma xx plus Sigma zz,

das hier, das war s, das ist die Spur und verteile das wieder gleichmäßig auf die Hauptdiagonalelemente,

also Delta ij, sodass ich hier schreiben kann, ein Drittel s mal Delta ij,

sodass also dieses Sigma j-Kringel als Matrix aussieht, hier ein Drittel s und der Rest sind Nullen.

So sieht das aus. Jetzt habe ich also einen sogenannten hydrostatischen Spannungszustand produziert,

das heißt ich habe nur Normalspannung, Sigma xx, Sigma yy und Sigma zz und die sind auch alle gleich groß.

Das ist genau der Spannungszustand, den man bekommt, wenn man z.B. einen Körper unter Wasser drückt

und der Wasserdruck gleichmäßig von allen Seiten auf diesen Körper einwirkt,

dann wird er einfach nur zusammengepresst, ohne dass er sich ansonsten weiter verformt,

das erinnert nur sein Volumen bei Erhalt der Gestalt, also der Winkelbeziehung,

ich könnte eine Kugel unter Wasser drücken, die bleibt eine Kugel, die wird nicht irgendwie plattgedrückt,

zu so einem Ellipsoid oder sowas, sondern bleibt einfach eine Kugel

und ich habe in alle Richtungen den gleichen Spannungszustand,

den man dann in Anlehnung an dieses Unterwasser drücken, z.B. hydrostatisch nennt,

also ich habe gleichmäßigen Druck von allen Seiten, es könnte auch Zug sein,

das lässt sich experimentell nur schlecht realisieren, aber ich könnte das,

einen hydrostatischen Druck z.B. dadurch experimentell produzieren, indem ich einfach Wasserdruck ausnutze,

also durch ein hydraulisches System.

Gut, das ist also mein Kugelanteil und den Rest, den ich dann habe, den nenne ich den Deviator,